Tugas mtk minat,ZULIA KHUSWATUN KHASANAH X IPA 7

B. PERSAMAAN EKSPONEN
Definisi:
Persamaan eksponen adalah persamaan yang pangkatnya mengandung variabel dan tidak 
menutup kemungkinan bilangan dasar juga mengandung variabel.
1) Persamaan Eksponen Berbentuk π‘Žπ‘“(π‘₯) = π‘Žπ‘›
Jika π‘Žπ‘“(π‘₯) = π‘Žπ‘›
, dengan π‘Ž > 0 π‘‘π‘Žπ‘› π‘Ž ≠ 1, π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž 𝑓(π‘₯) = 𝑛
2) Persamaan Eksponen Berbentuk π‘Žπ‘“(π‘₯) = 1
Jika π‘Žπ‘“(π‘₯) = 1, dengan π‘Ž > 0 π‘‘π‘Žπ‘› π‘Ž ≠ 1, π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž 𝑓(π‘₯) = 0
3) Persamaan Eksponen Berbentuk π‘Žπ‘“(π‘₯) = π‘Žπ‘”(π‘₯)
Jika π‘Žπ‘“(π‘₯) = π‘Žπ‘”(π‘₯)
, dengan dengan π‘Ž > 0 π‘‘π‘Žπ‘› π‘Ž ≠ 1, π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž 𝑓(π‘₯) = 𝑔(π‘₯)
4) Persamaan Eksponen Berbentuk π‘Žπ‘“(π‘₯) = 𝑏𝑓(π‘₯)
Jika π‘Žπ‘“(π‘₯) = 𝑏𝑓(π‘₯)
, dengan 
π‘Ž > 0 π‘‘π‘Žπ‘› π‘Ž ≠ 1, 𝑏 > 0, π‘‘π‘Žπ‘› 𝑏 ≠ 1, π‘‘π‘Žπ‘› π‘Ž ≠ 𝑏, π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž 𝑓(π‘₯) = 0
5) Persamaan Eksponen Berbentuk {β„Ž(π‘₯)}𝑓(π‘₯) = {β„Ž(π‘₯)}𝑔(π‘₯)
Jika: {β„Ž(π‘₯)}𝑓(π‘₯) = {β„Ž(π‘₯)}𝑔(π‘₯)
, maka kemungkinannya adalah:
a) β„Ž(π‘₯) = 0 asalkan 𝑓(π‘₯) dan 𝑔(π‘₯) keduanya positif (𝑓(π‘₯) > 0 π‘‘π‘Žπ‘› 𝑔(π‘₯) > 0)
b) β„Ž(π‘₯) = 1
c) β„Ž(π‘₯) = −1, asalkan 𝑓(π‘₯) dan 𝑔(π‘₯) keduanya ganjil atau keduanya genap 
((−1)𝑓(π‘₯)−𝑔(π‘₯) = 1)
d) 𝑓(π‘₯) = 𝑔(π‘₯) asalkan β„Ž(π‘₯) ≠ 0 π‘‘π‘Žπ‘› β„Ž(π‘₯) ≠ 1
6) Persamaan Eksponen Berbentuk {β„Ž(π‘₯)}𝑓(π‘₯0 = 1
Jika {β„Ž(π‘₯)}𝑓(π‘₯0 = 1, maka kemungkinannya adalah:
a) 𝑓(π‘₯) = 0 , β„Ž(π‘₯) ≠ 0
b) β„Ž(π‘₯) = 1
c) β„Ž(π‘₯) = 1, 𝑓(π‘₯) = ± 𝑝
π‘ž
Dengan p dan q adalah bilangan asli yang tidak dapat saling membagi ( tidak 
mempunyai faktor persekutuan), dan p adalah bilangan genap.
7) Persamaan Eksponen Berbentuk π‘Žπ‘“(π‘₯) = 𝑏𝑔(π‘₯)
Jika af(x) = bg(x)
, dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, maka f(x) log a = g(x) log b
8) Persamaan Eksponen Berbentuk π‘Žπ‘“(π‘₯) = 𝑏
Jika π‘Žπ‘“(π‘₯) = 𝑏, dengan π‘Ž > 0, 𝑏 > 0, π‘‘π‘Žπ‘› π‘Ž ≠ 1 π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž 𝑓(π‘₯) =
π‘™π‘œπ‘”π‘
π‘™π‘œπ‘”
π‘Ž = π‘Žπ‘™π‘œπ‘”π‘
9) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝐴{π‘Žπ‘“(π‘₯)}2 + 𝐡{π‘Žπ‘“(π‘₯)} +C = 0
Untuk menyelesaikan persamaan eksponen berbentuk 𝐴{π‘Žπ‘“(π‘₯)}2 + 𝐡{π‘Žπ‘“(π‘₯)} +C = 0
adalah sebagai berikut:
Misalkan π‘Žπ‘“(π‘₯) = 𝑦 maka persamaan semula ekuivalen dengan persamaan:
𝐴𝑦2 + 𝐡𝑦 + 𝐢 = 0
Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dalam y, maka maksimal akan di dapat dua 
akar real dan minimalnya tidak satupun akar real. Akar real yang di terima adalah akar 
real yang positif. Selanjutnya akar-akar itu disubtitusikan ke persamaan π‘Žπ‘“(π‘₯) = 𝑦, 
sehingga kita memperoleh akar-akar persamaan yang diminta.

C. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN
Definisi:
Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung variabel.
Teorema:
1. Jika π‘Ž > 1 π‘‘π‘Žπ‘› π‘Žπ‘“(π‘₯) ≥ π‘Žπ‘”(π‘₯), π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž 𝑓(π‘₯) ≥ 𝑔(π‘₯)
2. Jika π‘Ž > 1 π‘‘π‘Žπ‘› π‘Žπ‘“(π‘₯) ≤ π‘Žπ‘”(π‘₯), π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž 𝑓(π‘₯) ≤ 𝑔(π‘₯)
3. Jika 0 < π‘Ž < 1 π‘‘π‘Žπ‘› π‘Žπ‘“(π‘₯) ≥ π‘Žπ‘”(π‘₯), π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž 𝑓(π‘₯) ≤ 𝑔(π‘₯)
4. Jika 0 < π‘Ž < 1 π‘‘π‘Žπ‘› π‘Žπ‘“(π‘₯) ≤ π‘Žπ‘”(π‘₯), π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž 𝑓(π‘₯) ≥ 𝑔(π‘₯)
Pertidaksamaan eksponen berbentuk 𝐴{π‘Žπ‘“(π‘₯)}2 + 𝐡{π‘Žπ‘“(π‘₯)} +C < 0 (tanda ketidaksamaan 
“<” dapat di ganti dengan”≤ ,>, π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘’ " ≥ ", diselesaikan sebagai berikut:
Misalkan π‘Žπ‘“(π‘₯) = 𝑦, maka pertidaksamaan semula ekuivalen dengan pertidaksamaan 
𝐴𝑦2 + 𝐡𝑦 + 𝐢 < 0

Contoh Soal Persamaan Eksponen, Pertidaksamaan Eksponen, dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Akar-akar persamaan 5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0 adalah x_1 dan x_2.

Jika x_1 < x_2, maka tentukan nilai 2x_1 + x_2 (UN 2008)

Pembahasan

5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

5^{2(x+1)+1} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

5((5^{x+1})^2) - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

Misalkan 5^{x+1} = y, maka

5(y^2) - 6(y) + 1 = 0

y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

y_{1,2} = \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2 - 4(5)(1)}}{2(5)}

y_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{10}

sehingga y_1 = \frac{1}{5} dan y2 = 1.

Disubstitusi dalam 5^{x+1} = y menjadi

5^{x+1} = \frac{1}{5} = 5^{-1}

x+1 = -1 \longrightarrow x_1 = -2

5^{x+1} = 1 = 5^0

x+1 = 0 \longrightarrow x_2 = -1

Sehingga,

2x_1 + x_2 = 2 (-2)+(-1) = -5

Komentar

Posting Komentar